2021年考研高等数学真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，在x=0处连续的是（ ）
A. f(x) = |x|
B. f(x) = x^2
C. f(x) = sin(x)
D. f(x) = x^3
答案：C
解析：选项C中的函数sin(x)在x=0处连续，其余选项在x=0处不连续。
2. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数是（ ）
A. 1
B. e
C. e^2
D. e^3
答案：A
解析：根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h，代入x=0，得到f'(0) = lim(h→0) [e^h - 1] / h = 1。
3. 下列极限中，正确的是（ ）
A. lim(x→0) (x^2 - 1) / (x - 1) = 1
B. lim(x→0) (x^2 - 1) / (x - 1) = -1
C. lim(x→0) (x^2 - 1) / (x - 1) = 2
D. lim(x→0) (x^2 - 1) / (x - 1) 不存在
答案：A
解析：根据洛必达法则，lim(x→0) (x^2 - 1) / (x - 1) = lim(x→0) (2x) / 1 = 2。
二、填空题
1. 设f(x) = e^x，则f'(x) = _______。
答案：e^x
解析：根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h，代入f(x) = e^x，得到f'(x) = e^x。
2. 设f(x) = sin(x)，则f''(x) = _______。
答案：-sin(x)
解析：根据导数的定义，f'(x) = cos(x)，f''(x) = -sin(x)。
三、解答题
1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在x=1处的切线方程。
答案：y = -2x + 3
解析：首先求出f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，代入x=1，得到f'(1) = -2。切线斜率为-2，切点为(1, 0)。因此，切线方程为y = -2x + 3。
2. 求极限lim(x→0) [(x^2 - 1) / (x - 1)]。
答案：2
解析：根据洛必达法则，lim(x→0) [(x^2 - 1) / (x - 1)] = lim(x→0) [2x] / 1 = 2。
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