2021年考研数学一试题真题讲解如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(1) = \, ?$
解：$f'(x) = 3x^2 - 3$，代入$x = 1$得$f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0$。
2. 下列哪个级数收敛？
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
C. $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n$
D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$
解：选项A是收敛的，因为它是$p$级数，其中$p = 2 > 1$。
二、填空题
3. $\int_0^1 x^2 e^x dx = \, ?$
解：使用分部积分法，设$u = x^2$，$dv = e^x dx$，则$du = 2x dx$，$v = e^x$，得$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$。再次使用分部积分，最终计算得$\int_0^1 x^2 e^x dx = \frac{1}{3} e - 2$。
三、解答题
4. 求解微分方程$y'' - 4y' + 4y = 0$。
解：特征方程为$r^2 - 4r + 4 = 0$，解得$r = 2$（重根）。因此，通解为$y = (C_1 + C_2x)e^{2x}$。
5. 计算定积分$\int_0^{\pi} \sin^3 x dx$。
解：使用三角恒等变换，$\sin^3 x = \sin x (1 - \cos^2 x)$，得$\int_0^{\pi} \sin^3 x dx = \int_0^{\pi} \sin x - \sin x \cos^2 x dx$。使用分部积分法计算，最终得$\int_0^{\pi} \sin^3 x dx = \frac{2}{3}$。
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