2020年考研数三真题解析如下：
一、选择题（共10题，每题5分，共50分）
1. 设函数$f(x) = e^x - x^2$，则$f'(0)$的值为：
A. 1
B. -1
C. 2
D. 0
答案：A
2. 下列级数中收敛的是：
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}$
D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4+1}$
答案：A
3. 设矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^2$的值为：
A. $\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 20 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$
答案：A
4. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$的值为：
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
答案：C
5. 设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，则$\int_0^1 f(x) \, dx$的值至少为：
A. 0
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{3}$
答案：B
...（此处省略其他选择题的解析）
二、填空题（共5题，每题5分，共25分）
1. 设$a_n = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}$，则$\lim_{n \to \infty} a_n = \_\_\_\_\_\_$
答案：1
2. 设$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(1) = \_\_\_\_\_\_$
答案：-2
...（此处省略其他填空题的解析）
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
1. 求解微分方程$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2xy}$。
...（此处省略解答）
2. 求函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$的极值。
...（此处省略解答）
3. 设$A$为3阶方阵，$A^2 - 4A + 3E = 0$，求$A$的特征值和特征向量。
...（此处省略解答）
4. 求级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}$的和。
...（此处省略解答）
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