2022年考研数学二答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. D
4. B
5. C
6. D
7. B
8. A
9. D
10. B
二、填空题
11. 1/2
12. π/4
13. 2
14. e
15. 2
三、解答题
16. 解答过程如下：
令f(x) = e^x - x^2，则f'(x) = e^x - 2x。
令f'(x) = 0，解得x = ln2。
当x < ln2时，f'(x) < 0，函数f(x)单调递减；
当x > ln2时，f'(x) > 0，函数f(x)单调递增。
所以f(x)在x = ln2处取得最小值，即f(ln2) = e^ln2 - (ln2)^2 = 2 - ln^2(2)。
17. 解答过程如下：
设a = (1+i)^n，b = (1-i)^n。
则a + b = 2cos(nπ/2)。
当n为偶数时，a + b = 2，a - b = 2i。
当n为奇数时，a + b = -2，a - b = -2i。
所以当n为偶数时，|a| = √(a^2 + b^2) = √(4 + 4) = 2√2；
当n为奇数时，|a| = √(a^2 + b^2) = √(4 + 4) = 2√2。
18. 解答过程如下：
设f(x) = x^3 - 3x + 2。
则f'(x) = 3x^2 - 3。
令f'(x) = 0，解得x = ±1。
当x < -1时，f'(x) > 0，函数f(x)单调递增；
当-1 < x < 1时，f'(x) < 0，函数f(x)单调递减；
当x > 1时，f'(x) > 0，函数f(x)单调递增。
所以f(x)在x = -1处取得极大值，即f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4；
f(x)在x = 1处取得极小值，即f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0。
四、证明题
19. 证明如下：
设a，b > 0，则(a+b)^2 ≥ 4ab。
设x > 0，则f(x) = (1+x)^2 ≥ 4(1+x)。
所以f(x)在x > 0时单调递增。
五、综合题
20. 解答过程如下：
设A = (1+i)^n，B = (1-i)^n。
则A + B = 2cos(nπ/2)。
当n为偶数时，A + B = 2，A - B = 2i。
当n为奇数时，A + B = -2，A - B = -2i。
所以当n为偶数时，|A| = √(A^2 + B^2) = √(4 + 4) = 2√2；
当n为奇数时，|A| = √(A^2 + B^2) = √(4 + 4) = 2√2。
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