面对考研数学中的超高难题，考生们需具备扎实的理论基础和灵活的解题技巧。以下是一例高难度数学题的解题思路：
题目：设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求$f(x)$的极值。
解题步骤：
1. 求导数：$f'(x)=3x^2-6x+4$。
2. 令$f'(x)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$。
3. 求二阶导数：$f''(x)=6x-6$。
4. 判断极值：$f''(1)=-6<0$，故$x=1$为极大值点；$f''(\frac{2}{3})=0$，无法判断极值。
5. 计算$f(1)=3$，$f(\frac{2}{3})=\frac{7}{27}$。
6. 结论：$f(x)$的极大值为3，极小值为$\frac{7}{27}$。
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