在备考考研数学时，一份精心准备的真题试卷至关重要。以下是一份模拟的考研数学真题试卷示例：
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的极值点为：
A. $x=1$
B. $x=2$
C. $x=0$
D. $x=3$
2. 若$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x^2}=\frac{1}{2}$，则常数$a$的值为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 已知矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{A}^2$的值为：
A. $\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 8 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$
4. 下列级数中收敛的是：
A. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$
B. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$
C. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$
D. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}$
5. 设$z = x^2 + y^2$，则$z$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$分别为：
A. 2x, 2y
B. 2x, 0
C. 0, 2y
D. 0, 0
二、填空题（每题5分，共25分）
6. $\int \frac{1}{x^2 - 4}dx = \frac{1}{2}\ln |x+2| - \frac{1}{2}\ln |x-2| + C$
7. 设$f(x) = e^x - x$，则$f'(x) = e^x - 1$
8. 矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的行列式为$2$
9. 函数$y = x^3 - 3x$的拐点为$(1, -2)$
10. 级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的和为$\frac{\pi^2}{6}$
三、解答题（每题15分，共45分）
11. 求解微分方程$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{y}$
12. 求极限$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}$
13. 求矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的特征值和特征向量
14. 求函数$y = e^x \sin x$的导数和二阶导数
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