考研数学积分题解析
题目： 计算不定积分 $\int x^3 e^x \, dx$。
解题步骤：
1. 选择分部积分法： 由于被积函数包含多项式和指数函数的乘积，我们可以采用分部积分法。设 $u = x^3$，则 $du = 3x^2 \, dx$；设 $dv = e^x \, dx$，则 $v = e^x$。
2. 应用分部积分公式： 根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们有：
\[
\int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - \int 3x^2 e^x \, dx
\]
3. 再次分部积分： 对于 $\int 3x^2 e^x \, dx$，我们再次使用分部积分法。设 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$；$dv = e^x \, dx$，$v = e^x$。
4. 继续计算：
\[
\int 3x^2 e^x \, dx = 3x^2 e^x - \int 6x e^x \, dx
\]
5. 第三次分部积分： 对于 $\int 6x e^x \, dx$，继续使用分部积分法。设 $u = x$，则 $du = dx$；$dv = 6e^x \, dx$，$v = 6e^x$。
6. 最终计算：
\[
\int 6x e^x \, dx = 6x e^x - \int 6e^x \, dx = 6x e^x - 6e^x
\]
7. 汇总结果： 将上述结果代入原积分，得到：
\[
\int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - (3x^2 e^x - 6x e^x + 6e^x) = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x + C
\]
其中 $C$ 是积分常数。
答案： $\int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x + C$。
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