在2022年的数2考研真题中，考生们遇到了一系列考验逻辑思维和解题技巧的问题。以下是其中一道典型例题的解答过程：
题目：已知函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([1, 3]\) 上的最大值和最小值。
解答思路：
1. 求导数：首先求 \( f(x) \) 的一阶导数 \( f'(x) \)，即 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。
2. 求临界点：令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \)。这两个点以及区间端点 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 构成了可能的极值点。
3. 求二阶导数：为了判断极值类型，求 \( f(x) \) 的二阶导数 \( f''(x) = 6x - 12 \)。将 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 分别代入 \( f''(x) \)，得到 \( f''(1) = -6 \) 和 \( f''(3) = 6 \)。由于 \( f''(1) < 0 \)，说明 \( x = 1 \) 处是局部极大值点；而 \( f''(3) > 0 \)，说明 \( x = 3 \) 处是局部极小值点。
4. 计算极值：将 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 代入 \( f(x) \)，得到 \( f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 + 1 = 5 \) 和 \( f(3) = 3^3 - 6 \times 3^2 + 9 \times 3 + 1 = 1 \)。
5. 比较边界值：由于 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 时分别取得局部极大值和局部极小值，并且这两个点都在区间 \([1, 3]\) 内，因此我们只需比较这两个值。显然，最大值为 \( 5 \)，最小值为 \( 1 \)。
结论：\( f(x) \) 在区间 \([1, 3]\) 上的最大值为 \( 5 \)，最小值为 \( 1 \)。
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