2004年考研数学三真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 真题题目：若函数 \( f(x) = \sin x \) 在区间 \([0, \pi]\) 上的积分值为多少？
答案解析：积分 \( \int_0^\pi \sin x \, dx = -\cos x \bigg|_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2 \)。
2. 真题题目：若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - x}{x^3} \) 存在，则该极限值为多少？
答案解析：使用洛必达法则，\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x - 1}{3x^2} = \frac{2\cos 0 - 1}{0} = \frac{1}{0}\)，由于分母趋于0，分子也趋于0，因此该极限值为0。
二、填空题
3. 真题题目：设 \( a > 0 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{x} \) 等于多少？
答案解析：根据洛必达法则，\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{1+ax} = a\)。
三、解答题
4. 真题题目：求解微分方程 \( y'' - 3y' + 2y = e^{2x} \) 的通解。
答案解析：先求解对应的齐次方程 \( y'' - 3y' + 2y = 0 \)，其特征方程为 \( r^2 - 3r + 2 = 0 \)，解得 \( r_1 = 1, r_2 = 2 \)。因此，齐次方程的通解为 \( y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x} \)。非齐次方程的一个特解可设为 \( y_p = Ax^2 e^{2x} \)，代入原方程解得 \( A = \frac{1}{4} \)。因此，非齐次方程的通解为 \( y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + \frac{1}{4} x^2 e^{2x} \)。
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