例题一：设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{x^2 - 3x + 2} \)，求 \( f(x) \) 的极值。
解答：首先对 \( f(x) \) 进行因式分解，得 \( f(x) = \frac{x(x-3)^2}{(x-1)(x-2)} \)。求导得 \( f'(x) = \frac{3x^2 - 12x + 9}{(x-1)^2(x-2)^2} \)。令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 2 \)。通过一阶导数符号变化判断，\( x = 1 \) 为极大值点，\( x = 2 \) 为极小值点。
例题二：已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} \)。
解答：由 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) 知，\( \sin x \) 在 \( x \) 接近 0 时与 \( x \) 线性相似。因此，\( \tan x \) 在 \( x \) 接近 0 时与 \( \sin x \) 的线性相似，即 \( \tan x \approx x + \frac{x^3}{3} \)。所以，\( \tan x - x \approx \frac{x^3}{3} \)，从而 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3} \)。
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