2021年考研数学一真题解析如下：
一、选择题
1. （单选题）若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) < 0 < f(b)，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c)=0。（ ）
A. 正确 B. 错误
答案：A
2. （单选题）设a > 0，则下列级数中，收敛的是（ ）
A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\) C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\) D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}\)
答案：A
二、填空题
1. （填空题）若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) < f(x) < f(b)，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c)=\(\frac{f(a)+f(b)}{2}\)。（ ）
答案：中值定理
2. （填空题）若向量a、b、c满足a·b = 0，b·c = 0，则向量a、b、c两两垂直。（ ）
答案：正确
三、解答题
1. （解答题）设f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) < 0 < f(b)，证明：存在一点c∈(a, b)，使得f(c)=0。
证明：
（1）假设不存在这样的c，即f(x)在区间[a, b]上不等于0。
（2）由介值定理知，f(x)在区间[a, b]上至少存在一个零点。
（3）这与假设矛盾，因此存在一点c∈(a, b)，使得f(c)=0。
2. （解答题）求函数f(x)的极值。
f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1
解答：
（1）求f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。
（2）令f'(x) = 0，解得x = 1或x = \(\frac{2}{3}\)。
（3）求f''(x) = 6x - 6。
（4）将x = 1和x = \(\frac{2}{3}\)代入f''(x)，得到f''(1) < 0，f''(\(\frac{2}{3}\)) > 0。
（5）因此，x = 1是f(x)的极大值点，x = \(\frac{2}{3}\)是f(x)的极小值点。
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