2019年考研数学三真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f'(0)$等于（ ）
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
【答案】C
解析：由$f'(x) = 3x^2 - 3$，代入$x = 0$，得$f'(0) = 0$。
2. 下列函数中，在$x = 1$处连续的是（ ）
A. $f(x) = |x - 1|$
B. $f(x) = \frac{1}{x - 1}$
C. $f(x) = x^2$
D. $f(x) = \sqrt{x - 1}$
【答案】D
解析：函数$f(x) = \sqrt{x - 1}$在$x = 1$处连续。
3. 若$f(x) = e^x$，则$f'(x)$等于（ ）
A. $e^x$
B. $e^x \cdot x$
C. $e^x \cdot x^2$
D. $e^x \cdot x^3$
【答案】A
解析：由$f(x) = e^x$，得$f'(x) = e^x$。
二、填空题
4. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$等于（ ）
【答案】-1/2
解析：由$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，得$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}$。
5. 若$f(x) = x^2 + 2x + 1$，则$f(-1)$等于（ ）
【答案】0
解析：代入$x = -1$，得$f(-1) = 0$。
三、解答题
6. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - 3x}{x^2}$。
【答案】0
解析：利用洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{3\cos 3x - 3}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-9\sin 3x}{2} = 0$。
7. 设$f(x) = x^2 - 2x + 1$，求$f'(x)$。
【答案】$f'(x) = 2x - 2$
解析：由$f(x) = x^2 - 2x + 1$，得$f'(x) = 2x - 2$。
8. 求微分$\mathrm{d}(\sin 2x)$。
【答案】$\mathrm{d}(\sin 2x) = 2\cos 2x \mathrm{d}x$
解析：由$\mathrm{d}(\sin 2x) = \cos 2x \mathrm{d}(2x)$，代入$\mathrm{d}(2x) = 2\mathrm{d}x$，得$\mathrm{d}(\sin 2x) = 2\cos 2x \mathrm{d}x$。
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