在2021年的考研数学二中，一道颇具挑战性的题目是：
题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1 \)，求 \( f(x) \) 的极值点。
解题过程：
首先，对函数 \( f(x) \) 求导，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)。
接着，令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x_1 = 1 \) 和 \( x_2 = \frac{2}{3} \)。
然后，计算 \( f''(x) = 6x - 6 \)。将 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 分别代入 \( f''(x) \) 中，得到 \( f''(1) = 0 \) 和 \( f''(\frac{2}{3}) = -2 \)。
由于 \( f''(1) = 0 \)，无法直接判断 \( x_1 = 1 \) 是极大值点还是极小值点，因此需要进一步分析。
考虑 \( f(x) \) 在 \( x_1 \) 附近的值。当 \( x < 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增；当 \( x > 1 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，函数单调递减。因此，\( x_1 = 1 \) 是 \( f(x) \) 的极大值点。
同理，\( x_2 = \frac{2}{3} \) 是 \( f(x) \) 的极小值点。
答案：\( x_1 = 1 \) 是 \( f(x) \) 的极大值点，\( x_2 = \frac{2}{3} \) 是 \( f(x) \) 的极小值点。
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