2019年考研数学二第18题：已知函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，求证：存在唯一的实数$a$，使得$f(a) = 0$。
证明：
首先，观察函数$f(x)$，易得$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$。求导函数的零点，即解方程$3x^2 - 12x + 9 = 0$，得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
接下来，分析函数$f(x)$在区间$(-\infty, 1)$，$(1, 3)$和$(3, +\infty)$上的单调性。由于$f'(x)$在$x=1$和$x=3$时为零，因此$f(x)$在$x=1$和$x=3$处取得极值。
当$x \in (-\infty, 1)$时，$f'(x) > 0$，所以$f(x)$单调递增；
当$x \in (1, 3)$时，$f'(x) < 0$，所以$f(x)$单调递减；
当$x \in (3, +\infty)$时，$f'(x) > 0$，所以$f(x)$单调递增。
由零点存在定理，存在$x_0 \in (1, 3)$，使得$f(x_0) = 0$。
接下来，证明存在唯一的实数$a$，使得$f(a) = 0$。
由于$f(x)$在$x=1$和$x=3$处取得极值，且$f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 + 1 = 5$，$f(3) = 3^3 - 6 \times 3^2 + 9 \times 3 + 1 = 1$。
又因为$f(x)$在$(-\infty, 1)$和$(3, +\infty)$上单调递增，在$(1, 3)$上单调递减，所以$f(x)$在$x=1$和$x=3$之间只有一个零点。
综上所述，存在唯一的实数$a$，使得$f(a) = 0$。
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