2023年数学一考研答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. B
4. D
5. A
6. C
7. B
8. D
9. A
10. C
二、填空题
11. π/2
12. 1/3
13. e
14. 2
15. 1
三、解答题
16. 解：设函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(x)。
f'(x) = 3x^2 - 3
令f'(x) = 0，得x = ±1
当x = 1时，f(x)取得极大值f(1) = 0
当x = -1时，f(x)取得极小值f(-1) = -4
所以，f(x)在x = 1处取得极大值0，在x = -1处取得极小值-4。
17. 解：设函数f(x) = e^x - x^2，求f'(x)和f''(x)。
f'(x) = e^x - 2x
f''(x) = e^x - 2
令f''(x) = 0，得x = ln2
当x < ln2时，f''(x) < 0，f(x)单调递减；
当x > ln2时，f''(x) > 0，f(x)单调递增。
所以，f(x)在x = ln2处取得极小值f(ln2) = 2 - 2ln2。
四、证明题
18. 证明：设函数f(x) = x^3 - 3x + 2，证明f(x)在区间[-1, 1]内至少有一个零点。
由罗尔定理知，若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且f(a) = f(b)，则存在至少一个点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = 0。
因为f(-1) = 2，f(1) = 0，所以f(-1) ≠ f(1)。
所以，f(x)在区间[-1, 1]内至少有一个零点。
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