题目：若函数 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 处具有 \( n \) 阶导数，试证明 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 处的泰勒公式如下：
\[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x) \]
其中，\( R_n(x) \) 为余项，具体表达式为：
\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1} \]
其中，\( \xi \) 是 \( x_0 \) 和 \( x \) 之间的某个值。
解析：
首先，我们构造一个辅助函数 \( F(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k \)。显然，\( F(x_0) = 0 \)。
接下来，我们对 \( F(x) \) 进行 \( n \) 阶求导，可以得到 \( F^{(n)}(x) = f^{(n)}(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}n(n-1)\cdots(n-k+1)(x - x_0)^{n-k} \)。
由于 \( F(x_0) = 0 \)，我们有 \( F^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}n(n-1)\cdots(n-k+1)(x_0 - x_0)^{n-k} = f^{(n)}(x_0) \)。
根据罗尔定理，存在 \( \xi \) 在 \( x_0 \) 和 \( x \) 之间，使得 \( F^{(n+1)}(\xi) = 0 \)。因此，我们有 \( R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1} \)。
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