2015年考研数学一真题答案如下：
一、选择题（每题5分，共10题）
1. 下列函数中，在x=0处可导的是（ ）
A. \( f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x} \)（x≠0，f(0)=0）
B. \( f(x) = \begin{cases} x^2 & x\geq 0 \\ x & x<0 \end{cases} \)
C. \( f(x) = \begin{cases} x^2 & x\geq 0 \\ 0 & x<0 \end{cases} \)
D. \( f(x) = \begin{cases} x^2 & x\geq 0 \\ x & x<0 \end{cases} \)
答案：C
2. 设函数\( f(x) = e^{x^2} \)，则\( f'(x) \)等于（ ）
A. \( 2xe^{x^2} \)
B. \( 2e^{x^2} \)
C. \( e^{x^2} \)
D. \( e^{2x^2} \)
答案：A
二、填空题（每题5分，共6题）
3. \( \lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \)的值为（ ）
答案：\(-\frac{1}{6}\)
4. 设\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则\( f(-1) \)的值为（ ）
答案：-1
5. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sqrt{1 + \cos^2 x}} \, dx \)的值为（ ）
答案：\(\frac{\pi}{4}\)
6. \( \lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x} \)的值为（ ）
答案：0
三、解答题（共40分）
7.（本题共10分）证明：若\( f(x) \)在\( x_0 \)处可导，则\( f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \)。
8.（本题共10分）求函数\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)的极值。
9.（本题共10分）求曲线\( y = e^x \)在点\( (1, e) \)处的切线方程。
10.（本题共10分）求极限\( \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1 + x^2) - x^2}{x^3} \)。
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