2025年考研数学第3题：已知函数\( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)在区间\( (0, +\infty) \)上连续，且在\( x=0 \)处可导，求\( f'(0) \)的值。
解答：
由导数的定义，我们有
\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \]
将函数\( f(x) \)代入，得到
\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2} - 1}{x} \]
化简分子，得到
\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1+x^2)}{(1+x^2)x} \]
\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{(1+x^2)x} \]
\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{1+x^2} \]
当\( x \to 0 \)时，\( 1+x^2 \to 1 \)，因此
\[ f'(0) = \frac{0}{1} = 0 \]
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