2016年考研数学二真题试卷答案如下：
一、选择题
1. A
2. B
3. C
4. D
5. A
6. B
7. C
8. D
9. A
10. B
二、填空题
11. 2
12. -1
13. π
14. 1/3
15. e
三、解答题
16.
- 解：根据题目条件，利用积分中值定理，可得
\[ \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 \bigg|_0^1 = \frac{1}{3} \]
所以，答案为 \(\frac{1}{3}\)。
17.
- 解：设 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)，则
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x \]
令 \(f'(x) = 0\)，得 \(x = 0\) 或 \(x = 2\)。
当 \(x < 0\) 或 \(x > 2\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增；
当 \(0 < x < 2\) 时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减。
所以，\(f(x)\) 在 \(x = 2\) 处取得极小值，即 \(f(2) = 4 - 12 + 4 = -4\)。
答案为 \(-4\)。
18.
- 解：设 \(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\)，则
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{r\cos\theta}{-r\sin\theta} = -\cot\theta \]
当 \(\theta = \frac{\pi}{2}\) 时，\(\frac{dy}{dx} = 0\)。
答案为 \(0\)。
四、证明题
19.
- 证明：设 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)，则
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x \]
令 \(f'(x) = 0\)，得 \(x = 0\) 或 \(x = 2\)。
当 \(x < 0\) 或 \(x > 2\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增；
当 \(0 < x < 2\) 时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减。
所以，\(f(x)\) 在 \(x = 2\) 处取得极小值，即 \(f(2) = 4 - 12 + 4 = -4\)。
答案为 \(-4\)。
五、计算题
20.
- 解：设 \(I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2x \cos x dx\)，则
\[ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2x \cos x d(\sin x) \]
\[ I = \frac{1}{3}\sin^3x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{3}\sin x d(\sin^2x) \]
\[ I = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x (2\sin x \cos x) dx \]
\[ I = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sin^2x dx \]
\[ I = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 - \cos 2x dx \]
\[ I = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\left[x - \frac{1}{2}\sin 2x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \]
\[ I = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\left[\frac{\pi}{2} - 0\right] \]
\[ I = \frac{1}{3} - \frac{\pi}{6} \]
答案为 \(\frac{1}{3} - \frac{\pi}{6}\)。
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