【2022考研数学二真题解析】
一、选择题（共10题，每题5分，共50分）
1. 设函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(x)$的零点为：
A. $x=1$
B. $x=-1$
C. $x=2$
D. $x=-2$
答案：A
2. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=\frac{1}{2}$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$等于：
A. 1
B. 2
C. 0
D. $\frac{1}{2}$
答案：B
3. 已知$A$是$n$阶方阵，且$A^2=0$，则$A$的秩$r(A)$的最大值为：
A. 1
B. 2
C. $n-1$
D. $n$
答案：C
二、填空题（共10题，每题5分，共50分）
4. $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx = \frac{\pi}{4}$
5. $f(x)=e^x$的导数$f'(x)$为$e^x$
6. 矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的行列式$|A| = -2$
7. $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) = 0$
8. $x^3-6x^2+11x-6$的一个实根为$x=1$
9. $\int \frac{1}{x^2+1} \, dx = \arctan x + C$
10. 线性方程组$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$的解为$x=1, y=1$
三、解答题（共3题，共100分）
11. （证明题，20分）证明：若$a, b, c$是等差数列，且$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$，则$a, b, c$成等比数列。
12. （计算题，30分）计算$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} \, dx$
13. （应用题，50分）已知函数$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$，求$f(x)$的极值。
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