题目：已知函数$f(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}$，求$\lim_{x\rightarrow 2}f(x)$。
解答：首先，我们观察函数$f(x)$在$x=2$处的连续性。由于$x=2$是分母中的一项，所以$f(x)$在$x=2$处不连续。但是，我们可以通过有理化分母的方法，将$f(x)$在$x=2$处的极限转化为$f(x)$在$x=2$处的连续函数的极限。
具体操作如下：
$$f(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}=\frac{(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}$$
$$=\frac{3x^2-12x+12+2x^2-6x+3+x^2-3x+2}{(x-1)(x-2)(x-3)}$$
$$=\frac{6x^2-21x+17}{(x-1)(x-2)(x-3)}$$
接下来，我们求$f(x)$在$x=2$处的极限：
$$\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{6x^2-21x+17}{(x-1)(x-2)(x-3)}$$
由于$x=2$是分母中的一项，我们需要对分子进行因式分解，以消除$x=2$这个根：
$$6x^2-21x+17=(6x-17)(x-1)$$
因此，我们有：
$$\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(6x-17)(x-1)}{(x-1)(x-2)(x-3)}$$
在$x=2$处，$(x-1)$和$(x-2)$的分子和分母都为0，但它们是连续的，所以我们可以将它们约去，得到：
$$\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{6x-17}{x-3}$$
最后，我们将$x=2$代入上述极限中，得到：
$$\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=\frac{6\times 2-17}{2-3}=\frac{12-17}{-1}=5$$
所以，$\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=5$。
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