2010年考研数学二第3题是一道关于线性代数的经典题目。题目如下：
设线性方程组
$$
\begin{cases}
x + 2y - z = 3 \\
2x + 4y - 2z = 6 \\
3x + 6y - 3z = 9
\end{cases}
$$
问：该方程组是否有无穷多解？若有，求出其通解。
解答过程：
首先，将方程组写成增广矩阵形式：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & | & 3 \\
2 & 4 & -2 & | & 6 \\
3 & 6 & -3 & | & 9
\end{bmatrix}
$$
进行行变换，化简为：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & | & 3 \\
0 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & | & 0
\end{bmatrix}
$$
由于方程组的系数矩阵的秩小于方程的个数，所以方程组有无穷多解。
设自由变量为$k$，则通解为：
$$
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
+
k
\begin{bmatrix}
-2 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}
$$
其中$k$为任意实数。
微信小程序：【考研刷题通】——助你轻松备战考研，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目刷题，让你在刷题中提高，备考无忧。立即加入我们，开启你的考研刷题之旅！🎉📚🎓