例题：已知函数 \( f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 1} \) 和 \( g(x) = e^x \)，求复合函数 \( (f \circ g)(x) \) 的导数。
解题过程：
首先，我们需要确定复合函数 \( (f \circ g)(x) \) 的表达式。根据复合函数的定义，我们有：
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt[3]{(e^x)^2 + 1} = \sqrt[3]{e^{2x} + 1} \]
接下来，我们求 \( (f \circ g)(x) \) 的导数。由于这是一个复合函数，我们使用链式法则。设 \( u = e^{2x} + 1 \)，则 \( (f \circ g)(x) = \sqrt[3]{u} \)。
首先，求 \( u \) 的导数：
\[ u' = (e^{2x} + 1)' = 2e^{2x} \]
然后，求 \( \sqrt[3]{u} \) 的导数，使用幂函数的求导法则：
\[ (\sqrt[3]{u})' = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}} \]
将 \( u' \) 代入，得到：
\[ (f \circ g)'(x) = \frac{1}{3}(e^{2x} + 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot 2e^{2x} \]
简化表达式：
\[ (f \circ g)'(x) = \frac{2e^{2x}}{3}(e^{2x} + 1)^{-\frac{2}{3}} \]
这就是复合函数 \( (f \circ g)(x) \) 的导数。
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