2022年考研数学三卷真题解析如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 5$在$x=1$处可导，则其导数$f'(1)$的值为：
A. -1
B. 1
C. 2
D. 3
解：由导数的定义，$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^3 - 3(1+h)^2 + 4(1+h) - 5 - (1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 5)}{h} = 2$。故选C。
2. 设向量$\boldsymbol{a} = (1, 2, 3)$，向量$\boldsymbol{b} = (2, 4, 6)$，则$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$的值为：
A. 0
B. 6
C. 12
D. 18
解：向量点积公式$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$，代入数值计算得$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 = 6$。故选B。
3. 若函数$f(x) = e^x - 2x$的导数$f'(x)$在区间$(0, +\infty)$上恒大于0，则$f(x)$在该区间上的性质是：
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 有极大值
D. 有极小值
解：$f'(x) = e^x - 2$，当$x > \ln 2$时，$f'(x) > 0$，故$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增。故选A。
二、填空题
4. 设$f(x) = \frac{e^x}{x^2}$，则$f'(x)$的表达式为________。
解：$f'(x) = \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x(x - 2)}{x^3}$。
5. 设$a, b$是方程$x^2 - 2ax + b = 0$的两个根，则$a + b$的值为________。
解：根据韦达定理，$a + b = 2a$，因为$a, b$是方程的根，所以$a + b = 2a$。
三、解答题
6. 求函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$的极值。
解：$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$，令$f'(x) = 0$得$x = 1$或$x = 3$。当$x < 1$或$x > 3$时，$f'(x) > 0$；当$1 < x < 3$时，$f'(x) < 0$。故$x = 1$是$f(x)$的极大值点，$x = 3$是$f(x)$的极小值点。计算得$f(1) = 3$，$f(3) = -7$。
7. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$。
解：利用洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x} = -\frac{1}{6}$。
【考研刷题通】小程序，助你轻松备战考研！政治、英语、数学等全部考研科目刷题，高效提升备考效率，快来体验吧！微信小程序搜索【考研刷题通】，开启你的考研刷题之旅！