考研数学最难压轴题通常涉及高阶数学理论，如复变函数、常微分方程、线性代数中的矩阵理论等。以下是一道典型的考研数学压轴题示例：
题目：已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答思路：首先计算矩阵 \( A \) 的特征多项式，然后求解特征值，最后根据特征值求对应的特征向量。
特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \) 可以表示为：
\[ \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 \]
解这个二次方程，得到特征值 \( \lambda_1 = -1 \) 和 \( \lambda_2 = 6 \)。
对于 \( \lambda_1 = -1 \)，解方程组 \( (A + I)x = 0 \)：
\[ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
得到特征向量 \( x_1 = 1 \)，\( x_2 = -1 \)，即 \( \vec{\alpha} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 6 \)，解方程组 \( (A - 6I)x = 0 \)：
\[ \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
得到特征向量 \( x_1 = 2 \)，\( x_2 = 3 \)，即 \( \vec{\beta} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
综上，矩阵 \( A \) 的特征值为 \( \lambda_1 = -1 \)，\( \lambda_2 = 6 \)，对应的特征向量分别为 \( \vec{\alpha} \) 和 \( \vec{\beta} \)。
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