在2021年数学三考研真题中，第17题是一道关于多元函数微分学的题目。题目要求考生求出函数 \( f(x, y) = e^{x+y} \) 在点 \( (1, 2) \) 处的全微分。解答如下：
首先，计算函数 \( f(x, y) \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数：
\[ f_x' = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x+y}) = e^{x+y} \]
\[ f_y' = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x+y}) = e^{x+y} \]
接着，将点 \( (1, 2) \) 代入偏导数中，得到：
\[ f_x'(1, 2) = e^{1+2} = e^3 \]
\[ f_y'(1, 2) = e^{1+2} = e^3 \]
因此，函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (1, 2) \) 处的全微分 \( df \) 为：
\[ df = f_x'(1, 2)dx + f_y'(1, 2)dy = e^3dx + e^3dy \]
所以，\( df = e^3(dx + dy) \)。
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