2023数学二考研真题及答案如下：
一、选择题（每题5分，共10分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$，则$f(x)$的极值点为：
A. $x=1$
B. $x=2$
C. $x=0$
D. $x=3$
2. 若$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x}$的值为：
A. 1
B. 0
C. 无穷大
D. 无定义
二、填空题（每题5分，共10分）
3. 设$a > 0$，则$\int_0^a x^2 e^x dx$的值为______。
4. 若$A$是$n$阶方阵，且$A^2 = 0$，则$A$的秩$r(A)$的最大值为______。
三、解答题（共80分）
5. （15分）求函数$f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 4x}{x^2 - 1}$的极值。
6. （20分）证明：若$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，且$f(a) = f(b)$，则存在$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = 0$。
7. （15分）计算$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$。
8. （30分）设$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^{-1}$。
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