2022年考研数学一真题答案及解析如下：
一、选择题
1. 答案：B
解析：由题意知，函数在x=0处连续，故A错误；由题意知，函数在x=0处可导，故B正确；由题意知，函数在x=0处不可导，故C错误；由题意知，函数在x=0处不可导，故D错误。
2. 答案：C
解析：根据极限的定义，有
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0)$$
由于函数在x=0处可导，故极限存在，故A正确；由题意知，函数在x=0处可导，故B正确；由题意知，函数在x=0处可导，故C正确；由题意知，函数在x=0处可导，故D正确。
3. 答案：D
解析：根据多元函数的极值定义，有
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x, y) - f(0, 0)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = f'(0, 0)$$
由于函数在原点可导，故极限存在，故A正确；由题意知，函数在原点可导，故B正确；由题意知，函数在原点可导，故C正确；由题意知，函数在原点可导，故D正确。
二、填空题
1. 答案：e
解析：由题意知，函数在x=0处连续，故
$$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$
又因为
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{e^x} = 1$$
故
$$\lim_{x \to 0} f(x) = e^0 = e$$
2. 答案：$\frac{1}{2}$
解析：由题意知，函数在x=0处连续，故
$$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$
又因为
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin x} = 1$$
故
$$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin x} = 1 \cdot 1 = 1$$
所以
$$f(0) = 1$$
又因为
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$$
故
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x^2} = \frac{1}{2}$$
所以
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$$
3. 答案：$\sqrt{2}$
解析：由题意知，函数在x=0处连续，故
$$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$
又因为
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 1$$
故
$$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 1 \cdot 1 = 1$$
所以
$$f(0) = 1$$
又因为
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \sqrt{2}$$
故
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \sqrt{2}$$
所以
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \sqrt{2}$$
三、解答题
1. 解答：略
2. 解答：略
3. 解答：略
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