1987年考研数学三经典考点深度解析

1987年的考研数学三试卷至今仍被视为备考的重要参考，其考察内容紧扣时代背景，注重基础与综合能力的结合。试卷中的题目设计既有对传统知识点的考查，也融入了当时经济领域急需的应用数学思想，如概率统计在经济决策中的运用、多元函数微分在优化问题中的体现等。这些题目不仅检验了考生的数学功底，更反映了考研数学与时俱进的特点。本文将精选1987年数学三中的5道典型问题，从解题思路到知识拓展进行全面剖析，帮助考生理解这类考题背后的考查意图，掌握应对类似问题的有效方法。

问题一：求极限的解题技巧

在1987年的数学三试卷中，有一道关于函数极限计算的题目引发了广泛讨论。题目要求计算极限 lim(x→0) [sin(x) x]/(x3sin(x))。不少考生在解题过程中感到困惑，主要因为分子分母同时含有三角函数和多项式，难以直接套用常规的极限运算法则。正确的解题思路需要首先对分子进行泰勒展开，将sin(x)近似为x x3/6，然后再对分母进行变形处理。通过这种方式，原极限可以转化为一个简单的分式极限，最终结果为-1/6。这道题不仅考查了考生对泰勒级数的基本掌握，更体现了考研数学对考生灵活运用知识的能力要求。

在备考过程中，考生应当注重积累不同类型极限的解题方法，如洛必达法则、等价无穷小替换、泰勒展开等。特别要注意的是，在计算复杂极限时，往往需要多种方法的组合运用。例如，当函数中含有三角函数、指数函数或对数函数时，优先考虑泰勒展开通常能简化问题。考生还应熟悉常见函数的泰勒展开式，如sin(x)、cos(x)、ex、ln(1+x)等，这样才能在考试中迅速找到解题突破口。通过大量练习，考生可以提高对复杂极限的敏感度，从而在考试中节省宝贵时间。

问题二：多元函数微分的应用

1987年数学三的一道试题考察了多元函数微分在几何问题中的应用。题目要求求曲面z = x2 + y2 2x在点(1, 1, 0)处的切平面方程。这类问题看似简单，但不少考生在解题过程中容易忽略对曲面法向量的正确计算。正确解法是首先计算函数f(x, y) = x2 + y2 2x的偏导数，然后代入点(1, 1)得到法向量(0, 2, -2)，最后根据点法式写出切平面方程x y + z = 0。这道题的关键在于理解偏导数的几何意义，即梯度向量就是曲面的法向量。

在备考这类问题时，考生需要建立清晰的几何直观。多元函数微分学中的许多概念，如梯度、方向导数、切平面等，都有其直观的几何意义。通过空间想象能力，考生可以更好地理解这些抽象概念，从而在解题时更加得心应手。例如，梯度向量的方向就是函数值增长最快的方向，这一性质在物理和工程问题中有着广泛的应用。考生还应掌握如何将实际问题转化为数学问题，如本题中将曲面方程转化为函数方程，再求其梯度向量。这种转化能力对于解决更复杂的实际应用问题至关重要。

问题三：概率统计中的假设检验

1987年数学三中的一道概率统计题目涉及假设检验，具体是关于正态总体方差的检验问题。题目要求检验某产品的生产标准差是否显著大于5，给定样本数据后选择合适的检验方法。这道题考查了考生对假设检验流程的掌握程度，包括提出原假设和备择假设、选择检验统计量、确定拒绝域等。正确解法是采用卡方检验，根据样本计算检验统计量的值，再与临界值比较做出判断。不少考生在解题过程中容易混淆检验类型或计算错误，导致结果偏差。

在备考假设检验问题时，考生需要系统掌握各种检验方法的基本原理和应用场景。例如，对于正态总体的均值检验，当方差已知时用Z检验，方差未知时用t检验；对于方差的检验则通常使用卡方检验。特别要注意的是，在假设检验中，犯第一类错误和第二类错误的概率是相互制约的，考生需要理解这两种错误之间的权衡关系。考生还应熟悉如何根据样本数据计算检验统计量，以及如何查阅统计表确定临界值。通过大量练习，考生可以提高对假设检验问题的处理能力，从而在考试中更加从容应对。

问题四：积分计算的技巧

1987年数学三中有一道定积分计算的题目颇具难度，要求计算一个涉及绝对值函数的积分。题目形式为∫[0, π] sin(x) cos(x) dx。这类问题的主要难点在于绝对值函数的处理，不少考生在解题过程中容易忽略分段讨论。正确解法是先找出sin(x)和cos(x)相等的点x=π/4，然后将积分区间[0, π]分为[0, π/4]和[π/4, π]两部分，分别计算绝对值内的函数值，最后将结果相加。这道题不仅考查了考生对定积分计算的基本掌握，更体现了对函数性质深入理解的重要性。

在备考定积分计算问题时，考生需要积累处理复杂被积函数的方法，如绝对值函数、分段函数、根式函数等。对于绝对值函数，关键在于确定分段点；对于分段函数，则需要分段计算；对于根式函数，有时需要三角代换简化积分。特别要注意的是，在计算定积分时，一定要结合被积函数的图像进行分析，这样有助于理解积分的几何意义，并避免计算错误。考生还应熟悉各种积分技巧，如换元积分、分部积分等，这些技巧在处理复杂积分时往往能起到关键作用。通过大量练习，考生可以提高对积分问题的处理能力，从而在考试中更加从容应对。

问题五：线性代数中的矩阵运算

1987年数学三中的一道线性代数题目考察了矩阵运算的综合应用。题目要求计算一个矩阵的逆矩阵，并在此基础上求一个线性方程组的解。这类问题看似简单，但不少考生在解题过程中容易忽略矩阵可逆的条件，导致计算错误。正确解法是先验证矩阵的行列式不为零，确认其可逆，然后通过伴随矩阵法或初等行变换法求逆矩阵，最后将逆矩阵代入线性方程组求解。这道题的关键在于理解矩阵运算的基本性质，如矩阵乘法的结合律、逆矩阵的唯一性等。

在备考线性代数问题时，考生需要系统掌握矩阵运算的各种性质和方法。例如，矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律；逆矩阵的存在性与矩阵的行列式密切相关；初等行变换是求解线性方程组的重要工具。特别要注意的是，在矩阵运算中，一定要保持计算的准确性，因为一个小错误可能导致整个解题过程失败。考生还应熟悉如何将实际问题转化为矩阵问题，如本题中的线性方程组就是通过矩阵运算求解的。这种转化能力对于解决更复杂的工程问题至关重要。通过大量练习，考生可以提高对矩阵问题的处理能力，从而在考试中更加从容应对。