2011年数学一考研真题讲解如下：
一、选择题部分
1. 题目：设函数$f(x)=x^3-3x+2$，求$f'(1)$。
解答：由导数定义，$f'(1)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3-3x+2-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3-3x+1}{x-1}$。
利用因式分解，$x^3-3x+1=(x-1)(x^2+x-1)$，则有$f'(1)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x^2+x-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}(x^2+x-1)=1^2+1-1=1$。
2. 题目：已知$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，求$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的最小值。
解答：由柯西不等式，$(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})(a+b)\geq(a+b)^2$，即$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq1$。
当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时，等号成立，此时$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1+1=2$，所以最小值为2。
二、填空题部分
1. 题目：设函数$f(x)=\ln(x+1)$，则$f'(0)=\frac{1}{2}$。
解答：由导数定义，$f'(x)=\frac{1}{x+1}$，则$f'(0)=\frac{1}{0+1}=1$。
三、解答题部分
1. 题目：已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$的极值。
解答：对$f(x)$求导得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$。
当$x<-1$或$x>1$时，$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增；当$-1 所以$x=-1$是$f(x)$的极大值点，$x=1$是$f(x)$的极小值点。 极大值为$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=4$，极小值为$f(1)=1^3-3(1)+2=0$。 【考研刷题通】——你的考研刷题小助手，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效刷题，轻松备考！快来体验吧！