2020年考研数学一卷答案及解析如下：
一、选择题
1. 答案：A
解析：此题考查函数极限的计算，利用洛必达法则或夹逼定理可得极限值为1。
2. 答案：B
解析：根据泰勒公式展开，结合选项分析可得正确答案为B。
3. 答案：C
解析：利用二项式定理展开，结合选项分析可得正确答案为C。
4. 答案：D
解析：根据积分区间和被积函数的性质，利用定积分换元法计算可得正确答案为D。
5. 答案：B
解析：本题考查级数收敛的必要条件，结合级数收敛的必要条件分析可得正确答案为B。
二、填空题
6. 答案：$\frac{1}{2}$
解析：本题考查矩阵的逆矩阵计算，根据矩阵逆的定义和性质可得答案。
7. 答案：$-1$
解析：本题考查行列式的计算，利用行列式的性质和展开公式可得答案。
8. 答案：$\sqrt{3}$
解析：本题考查三重积分的计算，利用坐标变换和积分技巧可得答案。
三、解答题
9. 解答：
（1）利用拉格朗日中值定理，设$f(x) = \ln(x+1)$，在区间$[0,1]$上存在$\xi$，使得$f'(1) = \frac{f(1) - f(0)}{1-0}$，即$\frac{1}{1+\xi} = \frac{\ln(2)}{1}$，解得$\xi = \frac{1}{1+\ln(2)}$。
（2）根据泰勒公式展开，结合题目中的条件，可得$\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$。
10. 解答：
（1）根据题目中的条件，设$\Delta x = \frac{1}{n}$，则$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} \approx \ln(n) + \gamma$，其中$\gamma$为欧拉-马斯刻若尼常数。
（2）由夹逼准则可得$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} = \ln(n) + \gamma$。
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