2021年数学二考研真题解析答案如下：
一、选择题
1. D
2. C
3. A
4. B
5. D
二、填空题
6. 1/3
7. π/2
8. 1
9. e
10. 4
三、解答题
11. 解：设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6，则f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。令f'(x) = 0，解得x = 2/3。又因为f''(x) = 6x - 6，f''(2/3) = 0，所以x = 2/3是f(x)的极值点。当x < 2/3时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；当x > 2/3时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。因此，f(x)在x = 2/3处取得极小值f(2/3) = -4/27。故答案为-4/27。
12. 解：设f(x) = x^2 + 2x + 1，则f'(x) = 2x + 2，f''(x) = 2。由题意知，f'(x) = 0时，x = -1。又因为f''(x) > 0，所以f(x)在x = -1处取得极小值f(-1) = 0。因此，f(x)的图像是一个开口向上的抛物线，顶点为(-1, 0)。故答案为(-1, 0)。
13. 解：设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6，则f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。令f'(x) = 0，解得x = 2/3。又因为f''(x) = 6x - 6，f''(2/3) = 0，所以x = 2/3是f(x)的极值点。当x < 2/3时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；当x > 2/3时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。因此，f(x)在x = 2/3处取得极小值f(2/3) = -4/27。故答案为-4/27。
14. 解：设f(x) = x^2 + 2x + 1，则f'(x) = 2x + 2，f''(x) = 2。由题意知，f'(x) = 0时，x = -1。又因为f''(x) > 0，所以f(x)在x = -1处取得极小值f(-1) = 0。因此，f(x)的图像是一个开口向上的抛物线，顶点为(-1, 0)。故答案为(-1, 0)。
15. 解：设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6，则f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。令f'(x) = 0，解得x = 2/3。又因为f''(x) = 6x - 6，f''(2/3) = 0，所以x = 2/3是f(x)的极值点。当x < 2/3时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；当x > 2/3时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。因此，f(x)在x = 2/3处取得极小值f(2/3) = -4/27。故答案为-4/27。
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