在求解考研数学中的反函数真题时，以下是一个典型步骤的解答：
首先，设函数 \( f(x) = 3x^2 - 4x + 5 \)。为了求其反函数，我们需要先确定函数的定义域。由于 \( f(x) \) 是一个二次函数，其定义域为全体实数 \( \mathbb{R} \)。
接下来，我们将 \( y = 3x^2 - 4x + 5 \) 视为 \( x \) 的函数，并交换 \( x \) 和 \( y \) 的位置，得到 \( x = 3y^2 - 4y + 5 \)。
然后，解这个方程以 \( y \) 为未知数。这是一个关于 \( y \) 的二次方程，可以通过配方法或使用求根公式来解决。使用求根公式，我们有：
\[
y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 3}
\]
简化得到：
\[
y = \frac{4 \pm \sqrt{4x - 4}}{6}
\]
进一步简化：
\[
y = \frac{2 \pm \sqrt{x - 1}}{3}
\]
由于反函数在 \( x \) 的每个值对应唯一的 \( y \) 值，我们需要选择使 \( y \) 为单调递增的解，即 \( y = \frac{2 + \sqrt{x - 1}}{3} \)。
因此，函数 \( f(x) \) 的反函数 \( f^{-1}(x) \) 为：
\[
f^{-1}(x) = \frac{2 + \sqrt{x - 1}}{3}
\]
其中 \( x \geq 1 \) 是反函数的定义域。
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