在深入解析考研数学题目时，我们以一道典型的线性代数题目为例：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答步骤如下：
1. 求特征值：首先计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。具体计算如下：
\[
\det\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) = \det\left(\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix}\right) = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2
\]
解得 \( \lambda_1 = -1 \) 和 \( \lambda_2 = 6 \)。
2. 求特征向量：对于每个特征值，求解线性方程组 \( (A - \lambda I)x = 0 \)。
- 当 \( \lambda_1 = -1 \) 时，方程组变为：
\[
\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
解得特征向量 \( x_1 = 1, x_2 = -1 \)，即 \( v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
- 当 \( \lambda_2 = 6 \) 时，方程组变为：
\[
\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
解得特征向量 \( x_1 = 2, x_2 = 3 \)，即 \( v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
通过以上步骤，我们成功求得了矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。想要在考研数学上更进一步，不妨试试微信小程序【考研刷题通】，这里有丰富的政治、英语、数学等考研科目刷题资源，助你轻松备战考研！
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