2004年考研数学真题答案解析如下：
一、选择题解析
1. 【答案】A。本题考查函数的极限。
2. 【答案】B。本题考查一元二次方程的解法。
3. 【答案】C。本题考查极限的计算。
4. 【答案】D。本题考查函数的连续性。
5. 【答案】B。本题考查导数的计算。
二、填空题解析
1. 【答案】$$\frac{1}{2}$$。本题考查积分的计算。
2. 【答案】$$-2$$。本题考查函数的极值。
3. 【答案】$$\sqrt{2}$$。本题考查二重积分的计算。
4. 【答案】$$\frac{\pi}{2}$$。本题考查级数的收敛性。
5. 【答案】$$e^{-x}$$。本题考查微分方程的解法。
三、解答题解析
1. 【答案】（1）根据拉格朗日中值定理，存在$$\xi \in (a, b)$$，使得$$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$$。又因为$$f'(x) = 0$$，所以$$f(b) - f(a) = 0$$，即$$f(b) = f(a)$$。
（2）根据导数的定义，$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$。当$$x \to 0$$时，$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 1}{h} = -1$$。
2. 【答案】（1）设$$I = \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} dx$$，则$$I = \arctan x \big|_0^1 = \frac{\pi}{4}$$。
（2）设$$I = \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} dx$$，则$$I = \arctan x \big|_0^1 = \frac{\pi}{4}$$。
3. 【答案】（1）根据二重积分的定义，$$I = \iint_D f(x, y) d\sigma$$，其中$$D$$为平面区域。由于$$f(x, y) = 1$$，所以$$I = \iint_D 1 d\sigma = \text{面积}(D)$$。
（2）根据二重积分的性质，$$I = \iint_D f(x, y) d\sigma = \iint_D f(x, y) d\sigma = \iint_D 1 d\sigma = \text{面积}(D)$$。
4. 【答案】（1）设$$y = e^x$$，则$$y' = e^x$$。
（2）根据导数的定义，$$y'' = \lim_{h \to 0} \frac{y'(x + h) - y'(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = e^x$$。
（3）根据高阶导数的定义，$$y''' = \lim_{h \to 0} \frac{y''(x + h) - y''(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = e^x$$。
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