在2022年考研数学二模拟题中，以下是一道典型的选择题：
题目： 若函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 4x + 3}$在$x=2$处可导，则$f'(2)$的值为：
A. $-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{3}$
解答： 首先，我们需要对函数进行因式分解，得到$f(x) = \frac{1}{(x-1)(x-3)}$。由于题目告知函数在$x=2$处可导，我们知道$x=1$和$x=3$是函数的间断点，而$x=2$是连续点。因此，我们可以利用导数的定义来求$f'(2)$。
根据导数的定义，我们有：
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$$
由于$f(2)$是连续的，我们可以直接计算$f(2)$：
$$f(2) = \frac{1}{2^2 - 4 \cdot 2 + 3} = \frac{1}{4 - 8 + 3} = \frac{1}{-1} = -1$$
接下来，我们计算$f(2+h)$：
$$f(2+h) = \frac{1}{(2+h)^2 - 4(2+h) + 3} = \frac{1}{4 + 4h + h^2 - 8 - 4h + 3} = \frac{1}{h^2 + 1}$$
将$f(2)$和$f(2+h)$代入导数的定义中，我们得到：
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h^2 + 1} + 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + h^2 + 1}{h(h^2 + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 2}{h^3 + h}$$
在$h \to 0$时，$h^3$和$h$的项都会趋近于0，因此我们可以简化极限表达式：
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{2}{h} = \infty$$
由于这个结果不符合可导的条件，我们需要重新检查我们的计算。实际上，我们应该使用导数的定义中的差商极限来计算$f'(2)$，而不是直接将$f(2+h)$和$f(2)$相减。正确的计算过程如下：
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2+h)^2 - 4(2+h) + 3} - (-1)}{h}$$
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2+h-1)(2+h-3)} + 1}{h}$$
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(1+h)(-1+h)} + 1}{h}$$
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1-h^2} + 1}{h}$$
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 + 1 - h^2}{1 - h^2}}{h}$$
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 - h^2}{1 - h^2}}{h}$$
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{2 - h^2}{h(1 - h^2)}$$
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{2 - h^2}{h} \cdot \frac{1}{1 - h^2}$$
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{2}{h} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{1}{1 - h^2}$$
$$f'(2) = \infty \cdot 1 = \infty$$
这里我们再次得到了一个不合理的无穷大的结果，这表明我们的计算过程中存在错误。正确的计算应该是：
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2+h)^2 - 4(2+h) + 3} - (-1)}{h}$$
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2+h-1)(2+h-3)} + 1}{h}$$
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(1+h)(-1+h)} + 1}{h}$$
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - (1+h)(-1+h)}{(1+h)(-1+h)}}{h}$$
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - (1 - h^2)}{(1+h)(-1+h)}}{h}$$
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^2}{(1+h)(-1+h)}}{h}$$
$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{(1+h)(-1+h)}$$
$$f'(2) = \frac{0}{(1+0)(-1+0)} = 0$$
因此，正确的答案是B. $0$。
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