1. 设函数 \( f(x) = \ln(1+x) \)，若 \( f'(0) = \frac{1}{2} \)，则 \( x = 0 \) 时 \( f(x) \) 的二阶导数 \( f''(0) \) 等于 _______。
2. 在极坐标系下，曲线 \( r = \cos \theta \) 与直线 \( \theta = \frac{\pi}{3} \) 的交点坐标为 _______。
3. 若数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \( a_n = 3^n - 2^n \)，则数列的前 \( n \) 项和 \( S_n \) 的表达式为 _______。
4. 设 \( A \) 为 \( n \times n \) 矩阵，且 \( A^2 = 0 \)，则矩阵 \( A \) 的秩 \( r(A) \) 至少为 _______。
5. 若函数 \( g(x) = e^{2x} - 3x + 1 \) 在 \( x = 1 \) 处取得极值，则 \( g'(1) = \) _______。
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