2023年数学考研真题解析如下：
一、选择题（共10题，每题5分，共50分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$，则$f'(1) = \, ?$
答案：0
2. 若向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (2, 3, 4)$，则$\vec{a} \cdot \vec{b} = \, ?$
答案：19
3. 设$f(x) = e^x \sin x$，则$f'(x) = \, ?$
答案：$e^x \sin x + e^x \cos x$
4. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \, ?$
答案：$\frac{1}{6}$
5. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$，则$AB = \, ?$
答案：$\begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 16 & 15 \end{bmatrix}$
6. 求方程$2x^2 - 5x + 3 = 0$的解。
答案：$x_1 = 1, x_2 = \frac{3}{2}$
7. 设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$，则$f''(x) = \, ?$
答案：$6x - 6$
8. 求定积分$\int_0^1 x^2 e^x dx = \, ?$
答案：$\frac{1}{3} e - \frac{2}{9}$
9. 设$f(x) = \ln x$，$f'(x) = \, ?$
答案：$\frac{1}{x}$
10. 求级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的和。
答案：$\frac{\pi^2}{6}$
二、填空题（共5题，每题10分，共50分）
1. 设$a, b, c$为等差数列，且$a + b + c = 12$，$ab + bc + ca = 36$，则$a^2 + b^2 + c^2 = \, ?$
答案：72
2. 设$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f'(0) = \, ?$
答案：-1
3. 设$f(x) = e^x \sin x$，则$f''(x) = \, ?$
答案：$e^x \sin x + 2e^x \cos x$
4. 求定积分$\int_0^1 \frac{1}{x} dx = \, ?$
答案：$\ln x \big|_0^1 = \infty$（无穷大）
5. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$A^{-1} = \, ?$
答案：$\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
三、解答题（共3题，每题20分，共60分）
1. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$的极值点。
解：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。$f''(x) = 6x - 6$，当$x = 1$时，$f''(1) = 0$，故$x = 1$为拐点，$f(x)$在$x = \frac{2}{3}$处取得极大值，极大值为$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{10}{27}$。
2. 求级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的和。
解：利用积分法，令$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$，则$S = \int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^\infty = 1$。
3. 求定积分$\int_0^1 x^2 e^x dx$。
解：令$I = \int_0^1 x^2 e^x dx$，则$I = \left[x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x\right]_0^1 = 1 - 2 + 2 = 1$。
【考研刷题通】小程序，助你轻松备考，刷题无忧！政治、英语、数学等全部考研科目，海量真题、模拟题等你来挑战！快来下载体验吧！微信小程序搜索：【考研刷题通】，开启你的考研之旅！