2022年考研数学三真题解析如下：
一、选择题
1. 本题考查了极限的计算。通过洛必达法则或等价无穷小替换，可以得出答案为B。
2. 本题考查了多元函数的偏导数。根据偏导数的定义，求出偏导数后，可以得出答案为A。
3. 本题考查了一元二次方程的解。通过配方法或公式法，可以得出答案为C。
4. 本题考查了数列的收敛性。通过比值审敛法或根值审敛法，可以得出答案为B。
5. 本题考查了定积分的计算。通过换元积分法或分部积分法，可以得出答案为A。
二、填空题
1. 本题考查了泰勒公式。通过泰勒公式，可以得出答案为$e^x$。
2. 本题考查了矩阵的行列式。通过行列式的性质，可以得出答案为2。
3. 本题考查了线性方程组的解。通过克莱姆法则或增广矩阵法，可以得出答案为$\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}$。
三、解答题
1. 本题考查了极限的计算。通过洛必达法则或等价无穷小替换，可以得出答案为$e^2$。
2. 本题考查了多元函数的偏导数。通过偏导数的定义，求出偏导数后，可以得出答案为$2x^3$。
3. 本题考查了一元二次方程的解。通过配方法或公式法，可以得出答案为$x_1=-1, x_2=2$。
4. 本题考查了数列的收敛性。通过比值审敛法或根值审敛法，可以得出答案为$\frac{1}{2}$。
5. 本题考查了定积分的计算。通过换元积分法或分部积分法，可以得出答案为$\frac{\pi}{2}$。
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