2024年数学考研真题及答案如下：
一、选择题（每题5分，共25分）
1. 设函数$f(x) = 3x^2 - 4x + 5$，则$f'(1) = \boxed{5}$。
2. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$的值为$\boxed{1}$。
3. 已知$\int_0^1 x^2 e^x \, dx = \boxed{\frac{1}{3}e}$。
4. 矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的行列式为$\boxed{2}$。
5. 设$A$为$n$阶方阵，若$A^2 = 0$，则$A$的秩$r(A)$的最大值为$\boxed{1}$。
二、填空题（每题5分，共25分）
1. 函数$f(x) = e^x \sin x$的导数为$f'(x) = \boxed{e^x(\sin x + \cos x)}$。
2. 二阶常系数齐次线性微分方程$y'' + 2y' + y = 0$的通解为$y = \boxed{C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}}$。
3. 空间直角坐标系中，点$P(1, 2, 3)$到点$Q(4, 5, 6)$的距离为$\boxed{5}$。
4. 设$a, b, c$为等差数列，若$a + b + c = 9$，则$abc$的最大值为$\boxed{27}$。
5. $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \boxed{e}$。
三、解答题（共50分）
1. （10分）求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的极值点。
2. （10分）解微分方程$y'' - 2y' + 2y = e^x$。
3. （15分）计算积分$\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx$。
4. （15分）证明：对于任意实数$x$，都有$(x^2 - 1)^2 \geq 4x$。
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