2025年考研数学专业数学分析试卷解析如下：
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f'(1) \) 等于：
A. -1
B. 1
C. 0
D. 无定义
2. 下列级数中，收敛的是：
A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)
B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)
C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)
D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}\)
3. 设 \( f(x) \) 在区间 \([0,1]\) 上连续，则 \( \int_0^1 f(x) \, dx \) 等于：
A. \( f(0) + f(1) \)
B. \( f(0) - f(1) \)
C. \( 2f(0) - f(1) \)
D. \( 2f(1) - f(0) \)
4. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值：
A. 1
B. 0
C. \(\infty\)
D. 不存在
5. 设 \( A \) 为 \( n \times n \) 矩阵，且 \( A^2 = 0 \)，则 \( A \) 的秩为：
A. 0
B. 1
C. \( n-1 \)
D. \( n \)
二、填空题（每题5分，共20分）
6. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \) _______
7. \( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \) _______
8. \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{n^2 - 1} = \) _______
9. 设 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则 \( f'(x) = \) _______
10. 线性方程组 \( Ax = b \) 的系数矩阵 \( A \) 的秩为 \( r(A) = \) _______
三、解答题（每题20分，共60分）
11. 求函数 \( f(x) = e^x \sin x \) 的导数。
12. 计算定积分 \( \int_0^{\pi} e^x \cos x \, dx \)。
13. 证明：若 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，则 \( \int_a^b f(x) \, dx = f(\frac{a+b}{2})(b-a) \)。
四、附加题（20分）
14. 设 \( A \) 为 \( n \times n \) 矩阵，且 \( A^2 = A \)，证明 \( A \) 是幂等矩阵。
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