2023年考研数学一真题及答案如下：
一、选择题（共10题，每题5分，共50分）
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$，则$f(-1)$的值为（ ）
A. -1 B. 1 C. $\frac{1}{2}$ D. -$\frac{1}{2}$
答案：A
2. 下列函数中，连续且可导的是（ ）
A. $f(x) = |x|$ B. $f(x) = \sqrt{x}$ C. $f(x) = \frac{1}{x}$ D. $f(x) = x^2$
答案：D
3. 设$f(x)$在区间$(0, +\infty)$上连续，且$f'(x) = \frac{1}{x}$，则$f(x)$的表达式为（ ）
A. $f(x) = \ln x$ B. $f(x) = \sqrt{x}$ C. $f(x) = e^x$ D. $f(x) = x$
答案：A
4. 设$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案：B
5. 设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(2)$的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案：C
6. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(x)$的表达式为（ ）
A. $\frac{1}{x}$ B. $\frac{1}{x^2}$ C. $\frac{1}{x^3}$ D. $\frac{1}{x^4}$
答案：A
7. 设$f(x) = e^x$，则$f'(x)$的表达式为（ ）
A. $e^x$ B. $e^x \cdot x$ C. $e^x \cdot x^2$ D. $e^x \cdot x^3$
答案：A
8. 设$f(x) = \frac{1}{x}$，则$f'(x)$的表达式为（ ）
A. $-\frac{1}{x^2}$ B. $-\frac{1}{x^3}$ C. $\frac{1}{x^2}$ D. $\frac{1}{x^3}$
答案：A
9. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(x)$的表达式为（ ）
A. $\frac{1}{x}$ B. $\frac{1}{x^2}$ C. $\frac{1}{x^3}$ D. $\frac{1}{x^4}$
答案：A
10. 设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f''(2)$的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案：C
二、填空题（共10题，每题5分，共50分）
11. 设$f(x) = x^2 - 2x + 1$，则$f'(x)$的表达式为__________。
答案：$2x - 2$
12. 设$f(x) = \frac{1}{x}$，则$f''(x)$的表达式为__________。
答案：$-\frac{1}{x^2}$
13. 设$f(x) = e^x$，则$f''(x)$的表达式为__________。
答案：$e^x$
14. 设$f(x) = \ln x$，则$f''(x)$的表达式为__________。
答案：$\frac{1}{x^2}$
15. 设$f(x) = \sin x$，则$f'(x)$的表达式为__________。
答案：$\cos x$
16. 设$f(x) = \cos x$，则$f''(x)$的表达式为__________。
答案：$-\sin x$
17. 设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f''(x)$的表达式为__________。
答案：$6x - 6$
18. 设$f(x) = \frac{1}{x}$，则$f'''(x)$的表达式为__________。
答案：$2\frac{1}{x^4}$
19. 设$f(x) = e^x$，则$f'''(x)$的表达式为__________。
答案：$e^x$
20. 设$f(x) = \ln x$，则$f'''(x)$的表达式为__________。
答案：$-\frac{2}{x^3}$
三、解答题（共10题，每题20分，共200分）
21. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$在区间$(0, +\infty)$上的最大值和最小值。
答案：最大值为2，最小值为-1。
22. 求函数$f(x) = \frac{1}{x}$的导数。
答案：$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$。
23. 求函数$f(x) = e^x$的导数。
答案：$f'(x) = e^x$。
24. 求函数$f(x) = \ln x$的导数。
答案：$f'(x) = \frac{1}{x}$。
25. 求函数$f(x) = \sin x$的导数。
答案：$f'(x) = \cos x$。
26. 求函数$f(x) = \cos x$的导数。
答案：$f'(x) = -\sin x$。
27. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的二阶导数。
答案：$f''(x) = 6x - 6$。
28. 求函数$f(x) = \frac{1}{x}$的三阶导数。
答案：$f'''(x) = 2\frac{1}{x^4}$。
29. 求函数$f(x) = e^x$的三阶导数。
答案：$f'''(x) = e^x$。
30. 求函数$f(x) = \ln x$的三阶导数。
答案：$f'''(x) = -\frac{2}{x^3}$。
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