在考研数学中，掌握典型题目的解题技巧至关重要。以下是一个典型例题的详细解析：
例题：设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在区间 \([1, +\infty)\) 上连续，求证：存在 \( \xi \in (1, +\infty) \)，使得 \( f'(\xi) = -\frac{1}{\xi^2} \)。
解题思路：
1. 利用罗尔定理，首先证明函数 \( f(x) \) 在区间 \([1, +\infty)\) 上满足罗尔定理的三个条件：连续、可导、两端函数值相等。
2. 求出函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)，进而求出 \( f'(\xi) \)。
3. 根据罗尔定理，找到满足条件的 \( \xi \)。
具体步骤如下：
（1）证明 \( f(x) \) 在区间 \([1, +\infty)\) 上连续：
由于 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 是基本初等函数，它在实数域内连续，因此在区间 \([1, +\infty)\) 上也连续。
（2）证明 \( f(x) \) 在区间 \([1, +\infty)\) 上可导：
对 \( f(x) \) 求导得 \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \)，因此在区间 \([1, +\infty)\) 上 \( f(x) \) 可导。
（3）证明 \( f(1) = f(+\infty) \)：
当 \( x \to +\infty \) 时，\( f(x) = \frac{1}{x} \to 0 \)，因此 \( f(1) = 1 \) 且 \( f(+\infty) = 0 \)，满足两端函数值相等。
（4）根据罗尔定理，存在 \( \xi \in (1, +\infty) \)，使得 \( f'(\xi) = -\frac{1}{\xi^2} \)。
通过以上步骤，我们证明了存在 \( \xi \in (1, +\infty) \)，使得 \( f'(\xi) = -\frac{1}{\xi^2} \)。
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