2021年考研数学1真题解析如下：
一、选择题部分
1. 题目：已知函数$f(x) = \sin x + x^2$，求$f'(0)$。
解析：利用导数的定义，有$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h + h^2 - 0}{h} = 1$。
2. 题目：设矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
解析：计算$A$的行列式$|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$，由于行列式不为零，$A$可逆。根据公式$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$。
3. 题目：设$f(x)$在区间$[0, 1]$上连续，且$f(0) = 0$，$f(1) = 1$，求$\int_0^1 f(x) \, dx$。
解析：根据定积分的基本性质，$\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 (f(x) + f(1 - x)) \, dx$。由$f(0) = 0$和$f(1) = 1$，得$\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{1}{2}$。
二、填空题部分
1. 题目：设$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(1) = \_ $。
解析：求导得$f'(x) = 3x^2 - 3$，代入$x = 1$，得$f'(1) = 0$。
2. 题目：若$e^x - 2x - 1 = 0$，则$\ln 2$的近似值为\_。
解析：令$x = \ln 2$，则$e^{\ln 2} - 2\ln 2 - 1 = 0$，即$2 - 2\ln 2 - 1 = 0$，解得$\ln 2 \approx 0.693$。
三、解答题部分
1. 题目：证明$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \, dx = 1$。
解析：利用积分中值定理，存在$\xi \in (0, \frac{\pi}{2})$，使得$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \, dx = \frac{\sin \xi}{\xi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1$。
2. 题目：求解微分方程$\frac{dy}{dx} = y^2 + x^2$。
解析：分离变量，得$\frac{dy}{y^2 + x^2} = dx$。积分得$\arctan \frac{y}{x} = x + C$，即$y = x \tan(x + C)$。
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