2021年数学一考研真题及解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(x)$的零点为：
A. $x = -1$
B. $x = 1$
C. $x = -2$
D. $x = 2$
解析：$f'(x) = 3x^2 - 3$，令$f'(x) = 0$，得$x = \pm 1$，故选A和B。
2. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$的值为：
A. 1
B. 0
C. 无穷大
D. 不存在
解析：$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，当$x \to 0$时，$\cos x \to 1$，故$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x} = 1$，选A。
二、填空题
3. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1}$为：
解析：$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$。
三、解答题
4. 解微分方程$\frac{dy}{dx} = 2x^2y$。
解析：分离变量，得$\frac{1}{y} dy = 2x^2 dx$，两边积分，得$\ln |y| = \frac{2}{3}x^3 + C$，即$y = C_1 e^{\frac{2}{3}x^3}$。
5. 设$A$为三阶矩阵，且$A^3 - 3A^2 + 2A - E = 0$，求$A^{-1}$。
解析：由题意，$(A - E)(A^2 - 2A + E) = 0$，故$A - E$或$A^2 - 2A + E$为0矩阵。若$A - E = 0$，则$A = E$，$A^{-1} = E$；若$A^2 - 2A + E = 0$，则$A(A - 2E) = -E$，$A^{-1} = -\frac{1}{2}(A - 2E)$。
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