考研数学中关于压缩映射的题目通常涉及以下内容：
题目示例：
设函数 \( f: X \rightarrow Y \) 是一个从实数集 \( X \) 到实数集 \( Y \) 的映射，其中 \( X = Y = \mathbb{R} \)。如果存在常数 \( k \in (0, 1) \)，使得对于所有 \( x, y \in X \)，都有 \( |f(x) - f(y)| \leq k|x - y| \)，则称 \( f \) 为压缩映射。证明以下命题：
（1）如果 \( f \) 是压缩映射，则 \( f \) 的像 \( f(X) \) 是闭集。
（2）如果 \( X \) 是完备集，且 \( f \) 是压缩映射，则 \( f \) 是单射。
（3）证明压缩映射在完备度量空间中具有不动点。
解题思路：
（1）证明 \( f(X) \) 是闭集：
- 利用压缩映射的定义，通过反证法证明 \( f(X) \) 的补集是开集，从而得出 \( f(X) \) 是闭集。
（2）证明 \( f \) 是单射：
- 假设 \( f(x_1) = f(x_2) \)，利用压缩映射的性质，推导出 \( x_1 = x_2 \)，从而证明 \( f \) 是单射。
（3）证明压缩映射在完备度量空间中具有不动点：
- 利用Brouwer不动点定理，结合压缩映射的性质，证明存在不动点。
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