1. 题目：设函数 \( f(x) = e^x - x^2 \)，求 \( f(x) \) 在区间 \( [0,1] \) 上的最大值和最小值。
答案：求导得 \( f'(x) = e^x - 2x \)，令 \( f'(x) = 0 \) 解得 \( x = 0 \) 或 \( x = \ln 2 \)。计算 \( f(0) = 1 \)，\( f(\ln 2) = 2 - 2\ln 2 \)，因为 \( 2 - 2\ln 2 < 1 \)，所以函数在 \( x = 0 \) 处取得最大值 1，在 \( x = \ln 2 \) 处取得最小值 \( 2 - 2\ln 2 \)。
2. 题目：已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 9 \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} \)。
答案：根据极限的性质，有 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = 5 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 5 \cdot 1 = 5 \)。
3. 题目：若 \( \int_0^1 x^2 e^x \, dx = \frac{1}{3} \)，求 \( \int_0^1 x^3 e^x \, dx \)。
答案：通过分部积分法，设 \( u = x^2 \)，\( dv = e^x dx \)，则 \( du = 2x dx \)，\( v = e^x \)。于是 \( \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x dx \)。再次应用分部积分，得 \( \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx \)。代入原积分，计算得 \( \int_0^1 x^3 e^x dx = \frac{1}{3} \)。
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