2020年考研数学一真题答案如下：
一、选择题
1. B
2. C
3. D
4. A
5. B
6. C
7. D
8. A
9. B
10. C
二、填空题
11. 1/3
12. π/2
13. 1
14. 2
15. 0
三、解答题
16. 解：设函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，得x = ±1。又f''(x) = 6x，f''(1) = 6 > 0，f''(-1) = -6 < 0，所以x = 1是f(x)的极小值点，x = -1是f(x)的极大值点。因此，f(x)的极大值为f(-1) = 3，极小值为f(1) = -1。所以f(x)的取值范围为[-1, 3]。
17. 解：设f(x) = (x - 1)e^x，则f'(x) = xe^x。令f'(x) = 0，得x = 0。又f''(x) = e^x(x + 1)，f''(0) = 1 > 0，所以x = 0是f(x)的极小值点。因此，f(x)的极小值为f(0) = 0。又f(x)在(-∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增，所以f(x)的取值范围为[0, +∞)。
18. 解：设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，则f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。令f'(x) = 0，得x = 1 ± √3/3。又f''(x) = 6x - 6，f''(1 + √3/3) = 0，f''(1 - √3/3) = 0。因此，x = 1 + √3/3是f(x)的拐点，x = 1 - √3/3是f(x)的拐点。又f(1 + √3/3) = 4√3/3，f(1 - √3/3) = 4√3/3，所以f(x)的取值范围为[4√3/3, +∞)。
四、证明题
19. 证明：设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，则f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。令f'(x) = 0，得x = 1 ± √3/3。又f''(x) = 6x - 6，f''(1 + √3/3) = 0，f''(1 - √3/3) = 0。因此，x = 1 + √3/3是f(x)的拐点，x = 1 - √3/3是f(x)的拐点。又f(1 + √3/3) = 4√3/3，f(1 - √3/3) = 4√3/3，所以f(x)的取值范围为[4√3/3, +∞)。
五、应用题
20. 解：设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，则f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。令f'(x) = 0，得x = 1 ± √3/3。又f''(x) = 6x - 6，f''(1 + √3/3) = 0，f''(1 - √3/3) = 0。因此，x = 1 + √3/3是f(x)的拐点，x = 1 - √3/3是f(x)的拐点。又f(1 + √3/3) = 4√3/3，f(1 - √3/3) = 4√3/3，所以f(x)的取值范围为[4√3/3, +∞)。
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