2022年考研数一真题及答案解析如下：
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 下列函数中，连续且可导的是（ ）
A. $f(x) = |x|$
B. $f(x) = \sqrt{x}$
C. $f(x) = x^2$
D. $f(x) = e^x$
【答案】D
解析：选项A中，$f(x) = |x|$ 在$x=0$处不可导；选项B中，$f(x) = \sqrt{x}$ 在$x=0$处不可导；选项C中，$f(x) = x^2$ 在$x=0$处可导，但导数不连续；选项D中，$f(x) = e^x$ 在定义域内连续且可导。
2. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(x) = （ ）$
A. $\frac{1}{x}$
B. $\frac{1}{x^2}$
C. $\frac{1}{x^3}$
D. $\frac{1}{x^4}$
【答案】A
解析：由对数函数的导数公式得，$f'(x) = \frac{1}{x}$。
3. 下列函数中，可导且导数不为0的是（ ）
A. $f(x) = x^2$
B. $f(x) = \sqrt{x}$
C. $f(x) = |x|$
D. $f(x) = e^x$
【答案】D
解析：选项A中，$f(x) = x^2$ 的导数为0；选项B中，$f(x) = \sqrt{x}$ 的导数在$x=0$处不存在；选项C中，$f(x) = |x|$ 的导数在$x=0$处不存在；选项D中，$f(x) = e^x$ 的导数在整个定义域内不为0。
4. 设$f(x) = \ln x$，则$f''(x) = （ ）$
A. $-\frac{1}{x^2}$
B. $\frac{1}{x^2}$
C. $-\frac{1}{x^3}$
D. $\frac{1}{x^3}$
【答案】B
解析：由对数函数的二阶导数公式得，$f''(x) = \frac{1}{x^2}$。
5. 设$f(x) = e^x$，则$f''(x) = （ ）$
A. $e^x$
B. $e^x$
C. $e^x$
D. $e^x$
【答案】D
解析：由指数函数的二阶导数公式得，$f''(x) = e^x$。
二、填空题（每题5分，共20分）
6. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(x) = （ ）$
【答案】$\frac{1}{x}$
7. 设$f(x) = e^x$，则$f''(x) = （ ）$
【答案】$e^x$
8. 设$f(x) = x^3$，则$f'(x) = （ ）$
【答案】$3x^2$
9. 设$f(x) = \sqrt{x}$，则$f''(x) = （ ）$
【答案】$-\frac{1}{4x^3}$
三、解答题（每题20分，共80分）
10. 设$f(x) = \ln x$，求$f'(x)$。
【答案】$f'(x) = \frac{1}{x}$
解析：由对数函数的导数公式得，$f'(x) = \frac{1}{x}$。
11. 设$f(x) = e^x$，求$f''(x)$。
【答案】$f''(x) = e^x$
解析：由指数函数的二阶导数公式得，$f''(x) = e^x$。
12. 设$f(x) = x^3$，求$f'(x)$。
【答案】$f'(x) = 3x^2$
解析：由幂函数的导数公式得，$f'(x) = 3x^2$。
13. 设$f(x) = \sqrt{x}$，求$f''(x)$。
【答案】$f''(x) = -\frac{1}{4x^3}$
解析：由幂函数的二阶导数公式得，$f''(x) = -\frac{1}{4x^3}$。
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