2020年考研数学一真题解析如下：
一、选择题
1. 设函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(0) = （A）-1 （B）0 （C）1 （D）3
解析：f'(x) = 3x^2 - 3，代入x=0，得f'(0) = -3。故选A。
2. 设向量a = (1, 2, 3)，向量b = (4, 5, 6)，则a·b = （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
解析：a·b = 1×4 + 2×5 + 3×6 = 32。故选C。
3. 设A为3阶方阵，|A| = 3，则|2A| = （A）18 （B）6 （C）-18 （D）-6
解析：|2A| = 2^3|A| = 8×3 = 24。故选A。
4. 设f(x) = ln(x+1)，则f'(0) = （A）1 （B）-1 （C）0 （D）不存在
解析：f'(x) = 1/(x+1)，代入x=0，得f'(0) = 1。故选A。
5. 设a，b为两个非零向量，且a·b = 0，则向量a和向量b的夹角θ等于 （A）0° （B）90° （C）180° （D）不确定
解析：由于a·b = 0，所以向量a和向量b垂直，夹角θ为90°。故选B。
二、填空题
1. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(-1) = （A）-2 （B）0 （C）1 （D）2
解析：f(-1) = (-1)^2 + 2×(-1) + 1 = 0。故选B。
2. 设A为3阶方阵，且|A| = 0，则A的行列式等于 （A）0 （B）1 （C）-1 （D）不确定
解析：由于|A| = 0，所以A的行列式等于0。故选A。
3. 设f(x) = e^x，则f'(0) = （A）1 （B）0 （C）不存在 （D）-1
解析：f'(x) = e^x，代入x=0，得f'(0) = 1。故选A。
4. 设a，b为两个非零向量，且a·b = 0，则向量a和向量b的夹角θ等于 （A）0° （B）90° （C）180° （D）不确定
解析：由于a·b = 0，所以向量a和向量b垂直，夹角θ为90°。故选B。
5. 设A为3阶方阵，且|A| = 3，则|2A| = （A）18 （B）6 （C）-18 （D）-6
解析：|2A| = 2^3|A| = 8×3 = 24。故选A。
三、解答题
1. （一元函数微分学）
求函数f(x) = x^3 - 3x在x=1处的切线方程。
解析：f'(x) = 3x^2 - 3，代入x=1，得f'(1) = 0。又f(1) = -2，所以切线方程为y = -2。
2. （一元函数积分学）
求定积分∫(x^2 + 2x + 1)dx，其中x∈[0, 2]。
解析：∫(x^2 + 2x + 1)dx = ∫x^2dx + ∫2xdx + ∫1dx = (1/3)x^3 + x^2 + x |[0, 2] = (8/3) + 4 + 2 = 18/3 + 6 = 8。
3. （线性代数）
求矩阵A = |1 2 3| 的逆矩阵。
解析：A的行列式为|A| = 1×(2×3 - 3×2) = 0，所以A没有逆矩阵。
4. （常微分方程）
求微分方程y'' - 2y' + 2y = e^x的通解。
解析：令y = e^(rx)，代入微分方程得r^2e^x - 2re^x + 2e^x = e^x，即(r^2 - 2r + 2)e^x = e^x。令r^2 - 2r + 1 = 0，得r = 1。所以通解为y = (C1 + C2x)e^x。
5. （概率论与数理统计）
已知随机变量X服从二项分布B(5, 0.6)，求P(X=3)。
解析：P(X=3) = C(5, 3)×0.6^3×(1-0.6)^2 = 10×0.216×0.16 = 0.3456。
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